NÚMEROS COMPLEXOS
A origem do i ao quadrado igual a -1
No estudo dos números complexos deparamo-nos com a seguinte igualdade: i2 = – 1.
A justificativa para essa igualdade está geralmente associada à resolução de equações do 2º grau com raízes quadradas negativas, o que é um erro. A origem da expressão i2 = – 1 aparece na definição de números complexos, outro assunto que também gera muita dúvida. Vamos compreender o motivo de tal igualdade e como ela surge.
Primeiro, faremos algumas definições.
1. Um par ordenado de números reais (x, y) é chamado de número complexo.
2. Os números complexos (x1, y1) e (x2, y2) são iguais se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2.
3. A adição e a multiplicação de números complexos são definidas por:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 , y1 + y2)
(x1, y1)*(x2, y2) = (x1*x2 – y1*y2 , x1*y2 + y1*x2)
Exemplo 1. Considere z1 = (3, 4) e z2 = (2, 5), calcule z1 + z2 e z1*z2.
Solução:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1*z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Utilizando a terceira definição fica fácil mostrar que:
(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(x1 , 0)*(x2, 0) = (x1*x2, 0)
Essas igualdades mostram que no que diz respeito às operações de adição e multiplicação, os números complexos (x, y) se comportam como números reais. Nesse contexto, podemos estabelecer a seguinte relação: (x, 0) = x.
Usando essa relação e o símbolo i para representar o número complexo (0, 1), podemos escrever qualquer número complexo (x, y) da seguinte forma:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → que é a chamada de forma normal de um número complexo.
Assim, o número complexo (3, 4) na forma normal fica 3 + 4i.
Exemplo 2. Escreva os seguintes números complexos na forma normal.
a) (5, – 3) = 5 – 3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Agora, observe que chamamos de i o número complexo (0, 1). Vejamos o que ocorre ao fazer i2.
Sabemos que i = (0, 1) e que i2 = i*i. Segue que:
i2 = i*i = (0, 1)*(0, 1)
Utilizando a definição 3, teremos:
i2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0)
Como vimos anteriormente, todo número complexo da forma (x, 0) = x. Assim,
i2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0) = – 1.
Chegamos à famosa igualdade i2 = – 1.
A origem do i ao quadrado igual a -1
No estudo dos números complexos deparamo-nos com a seguinte igualdade: i2 = – 1.
A justificativa para essa igualdade está geralmente associada à resolução de equações do 2º grau com raízes quadradas negativas, o que é um erro. A origem da expressão i2 = – 1 aparece na definição de números complexos, outro assunto que também gera muita dúvida. Vamos compreender o motivo de tal igualdade e como ela surge.
Primeiro, faremos algumas definições.
1. Um par ordenado de números reais (x, y) é chamado de número complexo.
2. Os números complexos (x1, y1) e (x2, y2) são iguais se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2.
3. A adição e a multiplicação de números complexos são definidas por:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 , y1 + y2)
(x1, y1)*(x2, y2) = (x1*x2 – y1*y2 , x1*y2 + y1*x2)
Exemplo 1. Considere z1 = (3, 4) e z2 = (2, 5), calcule z1 + z2 e z1*z2.
Solução:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1*z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Utilizando a terceira definição fica fácil mostrar que:
(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(x1 , 0)*(x2, 0) = (x1*x2, 0)
Essas igualdades mostram que no que diz respeito às operações de adição e multiplicação, os números complexos (x, y) se comportam como números reais. Nesse contexto, podemos estabelecer a seguinte relação: (x, 0) = x.
Usando essa relação e o símbolo i para representar o número complexo (0, 1), podemos escrever qualquer número complexo (x, y) da seguinte forma:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → que é a chamada de forma normal de um número complexo.
Assim, o número complexo (3, 4) na forma normal fica 3 + 4i.
Exemplo 2. Escreva os seguintes números complexos na forma normal.
a) (5, – 3) = 5 – 3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Agora, observe que chamamos de i o número complexo (0, 1). Vejamos o que ocorre ao fazer i2.
Sabemos que i = (0, 1) e que i2 = i*i. Segue que:
i2 = i*i = (0, 1)*(0, 1)
Utilizando a definição 3, teremos:
i2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0)
Como vimos anteriormente, todo número complexo da forma (x, 0) = x. Assim,
i2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0) = – 1.
Chegamos à famosa igualdade i2 = – 1.
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