PROPRIEDADES DOS NÚMEROS COMPLEXOS

IGUALDADE DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Dois números complexos z=a+bi e w=c+di são iguais se, e somente se, a=c e b=d.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Sejam os números complexos z=a+bi e w=c+di. Definimos a adição e a subtração entre os números complexos z e w, respectivamente por:

z+w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
z−w = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

PRODUTO DE NÚMEROS COMPLEXOS

O conjugado de um número complexo z=a+bi é definido como o número complexo z ^*=a−bi.

As propriedades gerais do conjugado são:

1.                 O conjugado do conjugado de z é igual a z, isto é, (z ^*)^*=z.

2.                 O conjugado da soma de dois números complexos é igual à soma dos conjugados desses números, isto é, (z+w)^*=z ^*+w ^*.

3.                 O conjugado do produto de dois números complexos é igual ao produto dos conjugados desses números, isto é, (z.w)^*=z ^*.w ^*.

4.                 Se z for um número real, o conjugado de z é o próprio z e além disso:

Re(z)=½(z+z ^*)    e    Im(z)=½(z−z ^*)

DIVISÃO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Sejam os números complexos z=a+bi e w=c+di. Definimos a divisão entre z e w, por:

z w

=

a+bi c+di

=

(a+bi)(c−di) (c+di)(c−di)

=

ac+bd c²+d²

+

bc−ad c²+d²

i

Muitas vezes usaremos a notação mais simples z/w para representar a divisão de z por w.

VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO COMPLEXO

O módulo ou valor absoluto de um número complexo z=a+bi é definido como sendo o número real não negativo

|z|=(a²+b²)^1/2

Propriedades do Valor absoluto: Se z e w são números complexos, então:

1.           |z| = |−z| = |z ^*|

2.           |z| > 0

3.           |z| = 0 se, e somente se, z=0.

4.           |z.w| = |z|.|w|

5.           |z/w|= |z|/|w| se w diferente de 0.

6.           z.z ^* = |z|²

7.           |z+w|<|z|+|w|, (desigualdade triangular).

8.           |z−w|<|z|+|w|, (desigualdade triangular).

9.           |z|−|w|<|z−w|, (desigualdade triangular).

10.        |Re(z)|<|z|

11.        |Im(z)|<|z|

PLANO COMPLEXO

Podemos interpretar os números complexos como sendo pontos do plano cartesiano. Um número complexo z=a+bi pode ser representado pelo par ordenado (a,b) de números reais que corresponde a um ponto P do plano cartesiano R² com coordenadas a e b.

Exemplos

1.           z=2+2i pode ser representado pelo ponto (2,2).

2.           z=−2+2i pode ser representado pelo ponto (−2,2).

3.           z=3−2i pode ser representado pelo ponto (3,−2).

4.           z=−2−3i pode ser representado pelo ponto (−2,−3).

Estes números estão representados no gráfico:

INTERPRETAÇÃO VETORIAL DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Um número complexo z=a+bi pode ser considerado como um vetor OP onde a origem deste vetor é a origem do plano cartesiano O=(0,0) e a extremidade é o ponto P=(a,b). Desse modo, o vetor tem coordenadas a e b.

As regras do paralelogramo para a soma e subtração de vetores também se aplicam para soma e subtração de números complexos.